Общее
Общие замечания
Здравствуйте, уважаемые студенты, коллеги и прочие!
Студенты для тестирования и общения должны записаться на курс (инструкция на стартовой странице prepod.nspu.ru) имени меня.
Этот ресурс — prepod.nspu.ru — является официальным местом дистанционного взаимодействия (очных и заочных) студентов и преподавателей. Используйте «сообщения» (в шапке страницы), если что-то непонятно.
Далее моя страница организована так. Сначала описание работ по предметам и по группам (по формам: очные и заочные). Это основной блок. Остальное относится к тем, у кого это упомянуто в основном блоке в его предмете в его группе (направлении) в его форме обучения.
Программы занятий по предметам
Очное отделение
Математика, ФиПХ, ФХ ИЕСЭН
Второй семестр
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Операции с векторами. Уравнения прямой, плоскости. Скалярное произведение. Векторное произведение. Смешанное произведение. Определители квадратных матриц (формулы для 2×2, 3×3, упрощение элементарными преобразованиями, разложение по строке).
Квадрики. Кривые второго порядка. Координатная и матричная запись. Канонический вид. Касательные и секущие квадрик. Поверхности второго порядка, их сечения. Канонический вид.
Линейные операторы, их матрицы, преобразование матриц при замене базисов. Геометрический смысл линейных операторов. Собственные числа и векторы матриц и линейных операторов. Аффинные преобразования. Неподвижные точки, инвариантные прямые. Ортогональные матрицы и движения.
Теория вероятностей и математическая статистика, ИФМИТО
Список примерных тем смотри в разделе заочного обучения с тем же названием дисциплины и список литературы смотри ниже на странице.
Дифференциальные уравнения, ИФМИТО
Темы см. в разделе заочного отделения, примерные задачи под списком литературы (из книги Виленкина и др.)
Видео-лекции
и
Видео-лекция
для повторенияВидео-лекция
.
Видео-лекция
Видео-лекция
Видео-лекция
Видео-лекция
Готический латинский (немецкий) алфавит для рукописного исполнения.
Заочное отделение
Дискретная математика
Элементарная теория множеств (принадлежность, включение, объединение, пересечение, разность, дополнение, симметрическая разность, диаграммы Эйлера—Венна), мощность множества, формула включений-исключений, декартово произведение множеств, множество всех подмножеств, битовая запись подмножеств конечного множества, алгоритм Грея перебора всех подмножеств конечного множества.
Бинарные отношения, задание с помощью множества пар, с помощью логических матриц, представление с помощью (ор-)графов. Рефлексивность, симметричность, антисимметричность (aRb & bRa ⇒ a=b) и асимметричность (aRb ⇒ ¬ bRa), транзитивность отношения. Замыкание отношения относительно свойства. Отношение эквивалентности, отношение частичного порядка, диаграмма Хассе отношения частичного порядка, отношение линейного порядка. Обратное отношение. Композиция отношений.
Булевы функции. Основные булевы функции (унарные и бинарные), общее количество булевых функций. Фиктивные переменные. Таблица истинности. Представления булевых функций в дизъюнктивной и конъюнктивной нормальных формах.
Комбинаторика. Правила суммы и произведения. Перестановки, размещения, размещения с повторением, сочетания. Бином Ньютона, треугольник Паскаля. Биномиальные и мультиномиальные коэффициенты.
Графы. Определение. Вершины, рёбра. Простой граф, матрица смежности. Степень вершины, инцидентость и смежность. Маршрут, цикл. Эйлеров граф. Подграф. Связность, ацикличность. Полный граф, гамильтонов граф. Взвешенный (нагруженный) граф. Задача коммивояжёра, алгоритм ближайшего соседа. Деревья. Остовное дерево графа. Алгоритм нахождения минимального остовного дерева. Дерево с корнем. Двоичное дерево поиска.
Ориентированные графы. Дуги, антецеденты, пути, контуры. Алгоритм топологической сортировки. Матрица достижимости. Кратчайшие пути в нагруженном орграфе.
Математическая логика
Понятие высказывания, высказывательной формы (формула алгебры высказываний). Основные логические операции (конъюнкция, дизъюнкция, импликация, негация), антецедент, консеквент импликации, эквиваленция. Таблицы истинности элементарных операций. Формулы логики высказываний. Таблица истинности произвольной формулы логики высказываний. Исключающее или, штрих Штеффера, стрелка Пирса. Выражение одних логических операций через другие. Тавтологии и противоречия.
Равносильность формул логики высказываний. Рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения равносильности. Основные законы логики (законы тождества, противоречия, исключённого третьего, двойного отрицания, идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, законы де Моргана, законы поглощения и склеивания, контрапозиции). Равносильные преобразования формул логики с помощью законов логики. Правильные и неправильные аргументы.
Составление формул по таблице истинности. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы. приведение формулы к (совершенной) нормальной форме с помощью равносильных преобразований. Нахождение совершенных нормальных форм по таблице истинности. Получение всевозможных следствий из данных посылок. Булевы функции. Полные системы булевых функций.
Предикаты (функции на некоторой области определения с булевым значением). Тождественно истинный и ложный предикаты. Равносильность высказывательных форм. Кванторы. Отрицание предложений с кванторами. Формулы логики предикатов, свободные и связанные переменные.
Теория вероятностей и математическая статистика
Понятие и природа случайного. Краткая история появления теории вероятностей как науки. Область применения теории вероятностей (массовые повторяемые случайные явления). Понятие о законе больших чисел (и о сходимости по вероятности), частота наступления события, статистический подход к вероятности. Случайное явление, случайный опыт, случайное событие. Полная группа событий. Несовместные события. Равновозможные события. Схема случаев (шансов). Комбинаторные формулы в схеме шансов. Геометрическая вероятность (равномерного распределения на прямой, в области плоскости или пространства). Сумма и произведение событий, вероятности суммы (для совместных и несовместных событий) и произведения событий (для зависимых и независимых событий). Независимые события. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Априорная и апостериорная вероятности.
Вероятности при независимом повторении опытов. Случайные величины. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины, понятие о сингулярной случайной величины. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения. Вероятность случайной величины попасть в интервал через функцию распределения. Ряд и полигон (многоугольник) распределения дискретной случайной величины. Свойства ряда распределения. Мода, математическое ожидание (среднее) (формула для вычисления), дисперсия, моменты (в том числе абсолютные и центральные) случайной величины, средне-квадратичное (стандартное) отклонение. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание суммы и произведения случайных величин. Дисперсия суммы и произведения случайных величин, свойства дисперсии. Центрированная и стандартизованная случайные величины. Закон распределения Бернулли. Биномиальный закон. Закон Пуассона. Закон гипергеометрического распределения. Приближение биномиального распределения с помощью закона Пуассона. Приближение гипергеометрического распределения с помощью биномиального закона. Дискретный геометрический закон распределения.
Абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Кривая распределения. Вероятность случайной величины попасть в интервал. Особенности функций распределения для дискретной случайной величины и для абсолютно непрерывной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия для абсолютно непрерывной случайной величины, формулы для вычисления и свойства. Моменты случайной величины. Физический смысл математического ожидания. Медиана, квантили (квартили, децили…). Связь функции распределения и плотности распределения абсолютно непрерывной случайной величины.
Равномерное распределение на отрезке. Показательное распределение. Нормальное (гауссово) распределение. Функция распределения суммы независимых случайных величин для дискретного и абсолютно непрерывного случаев. Плотность суммы независимых абсолютно непрерывных случайных величин.
Неравенство Чебышёва. Функция стандартного нормального распределения и функция Лапласа, их таблицы. Линейные преобразования случайных величин и их моменты. Центральная предельная теорема.
Законы распределения χ² и T Стьюдента. Статистическое оценивание параметров. Упорядоченная выборка (вариационный ряд). Понятие доверительного интервала. Типы статистических гипотез. Понятие об ошибках первого и второго родов.
Уравнения математической физики (дифференциальные уравнения)
Список литературы смотри внизу. Перечень тем:
- Предельная точка множества (одномерный и многомерный случаи, через последовательности и на языке ε—δ). Понятие окрестности. Отрытое множество, связное множество. Область.
- Непрерывность функции (одномерный и многомерный случаи, через последовательности и на языке ε—δ). Условие Липшица (одномерный и многомерный случаи). Равномерная непрерывность, ограниченность функции, равномерное выполнение неравенства Липшица.
- Определение производной, геометрический и физический смыслы, уравнение касательной. Таблица производных и правила дифференцирования.
- Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка, с правой частью не зависящей от искомой функции. Интеграл. Первообразная. Таблица первообразных и правила интегрирования. Формула Барроу. Простейшее дифференциальное уравнение более высокого порядка. Константы интегрирования.
- Понятие дифференциального уравнения. Порядок уравнения. Решение дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения, разрешённые относительно старшей производной. Начальные данные, задача Коши. Общее и частное решения. Интеграл дифференциального уравнения.
- Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения. Поле направлений. Интегральная кривая. Фазовое пространство. Векторное поле в фазовой скорости в фазовом пространстве, случаи скалярного уравнения и векторного (системы).
- Формулировка теорем существования (Пеано) и единственности (Осгуда) решения задачи Коши в окрестности начальных данных. (Скалярный случай.)
- Понятие продолжаемости решения. Уравнение нормального размножения, уравнение взрыва.
- Сведе́ние дифференциального уравнения высокого порядка к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Векторная запись дифференциального уравнения. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши в окрестности начальных данных.
- Понятие о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных и правой части.
- Понятие устойчивости стационарного решения дифференциального уравнения. Примеры для автономных уравнений (и систем).
- Простейшие виды дифференциальных уравнений (и методы их решения): с правой частью, не зависящей от искомой функции; с правой частью, не зависящей от независимой переменной (автономное); с разделяющимися переменными, однородное, в полных дифференциалах.
- Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Метод вариации произвольной постоянной для их решения. Уравнения типа Бернулли, сведе́ние к линейному.
- Приближённые методы решения задачи Коши: метод ломаных Эйлера и метод последовательных приближений. Эквивалентное интегральное уравнение. Теорема Пикара—Линделёфа, случаи скалярного и векторного обыкновенных дифференциальных уравнений. Схема доказательства.
- Дифференциальные уравнения, соответствующие (гладким) семействам кривых. Ортогональное семейство кривых для данного семейства кривых.
- Особые точки дифференциальных уравнений (гладких полей направлений), типы изолированных особых точек.
К следующей сессии подробный рукописный конспект занятий (лекций и практики), решение задач из примерного перечня (см. внизу страницы, после списка литературы).
Раздел для заданий
Очное отделение
- Тест по теории вероятностей-2025
Заочное отделение